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    4．设在平面上有两个向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
    （1）求证：向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
    （2）当向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等时，求α的大小．

    分析 （1）运用向量的模的公式和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
    （2）运用向量的模的平方即为斜率的平方，展开化简结合向量数量积的坐标表示和两角差的正弦公式，以及特殊角的正弦值，即可得到所求角．

    解答 解：（1）证明：向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
    可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$=1，
    由（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=$\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{b}$2=1-1=0，
    可得向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
    （2）当向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等时，
    即有（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）2=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）2，
    即为3$\overrightarrow{a}$2+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$2=$\overrightarrow{a}$2-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{b}$2，
    即有2$\overrightarrow{a}$2+4$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$2=0，
    即为2+4$\sqrt{3}$•（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）-2=0，
    即有sin（α-30°）=0，
    由0°≤α＜180°，可得α-30°=0°，
    则α=30°．

    点评 本题考查向量数量积的坐标表示和性质：主要是向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，考查向量模的公式，以及两角差的正弦公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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