Question

3．在△ABC中，$B=\frac{π}{3}，AC=\sqrt{3}$，则△ABC周长的取值范围是（　　）

• A． $（2，3\sqrt{3}]$
• B． $（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$
• C． $[2，3\sqrt{3}]$
• D． $（2\sqrt{3}，3+\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根据正弦定理求出a、c的值，写出△ABC的周长表达式，
再利用三角恒等变换与三角函数的图象与性质，求出△ABC周长的取值范围．

解答 解：△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，AC=b=$\sqrt{3}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴△ABC周长为l=a+b+c
=2sinA+$\sqrt{3}$+2sinC
=2（sinA+sinC）+$\sqrt{3}$
=2[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]+$\sqrt{3}$
=2（sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA）+$\sqrt{3}$
=2（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$；
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，可得$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]；
即△ABC周长的取值范围是（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦、余弦公式应用问题，也考查了正弦函数的性质与应用问题，是综合题．