Question

【题目】记所有非零向量构成的集合为V，对于 ， ∈V， ≠ ，定义V（ ， ）=|x∈V|x =x |
（1）请你任意写出两个平面向量 ， ，并写出集合V（ ， ）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（ ， ）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（ ， ）=V（ ， ），其中 ≠ ，求证：一定存在实数λ1 ， λ2 ， 且λ1+λ2=1，使得 =λ1 +λ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：比如 =（1，2）， =（3，4），设 =（x，y），

由 = ，可得x+2y=3x+4y，

即为x+y=0，

则集合V（ ， ）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；

（2）解：由（1）可得这些向量共线．

理由：设 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），

由 = ，可得as+bt=cs+dt，

即有s= t，

即 =（ t，t），

故集合V（ ， ）中元素的关系为共线；

（3）证明：设 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），

=（u，v）， =（e，f），

若V（ ， ）=V（ ， ），

即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，

解得a= c+ e+ ，

可令d=f，可得λ1= ，

λ2= ，

则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得 =λ1 +λ2 ．

【解析】（1）比如 =（1，2）， =（3，4），设 =（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；（3）设 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d）， =（u，v）， =（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证．