Question

18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为$\frac{2}{5}$，乙每次投篮命中的概率为$\frac{2}{3}$，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲获胜的概率．
（2）由题意知投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由题意甲获胜的概率：
p=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{62}{125}$．
（2）由题意知投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{5}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{25}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{25}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{1}{25}$

EX=$1×\frac{4}{5}+2×\frac{4}{25}+3×\frac{1}{25}$=$\frac{31}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．