Question

7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点N，M分别是BD，B₁C的点．
（1）若点N，M分别是BD，B₁C的中点，求证：MN∥AA₁B₁B；
（2）若$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，则上述结论还成立吗？若成立请给出证明．

Answer 1

分析 （1）连接AC，AB₁，利用三角形的中位线定理证明MN∥AB₁，即可证明MN∥平面ABB₁A₁；
（2）结论仍成立，过点M作MP∥B₁B，交BC于点P，连接NP，证明平面MNP∥平面ABB₁A₁，即可证明MN∥平面ABB₁A₁．．

解答 证明：（1）如图1，
连接AC，AB₁，
∵ABCD是正方形，N是BD中点，
∴N是AC中点，
又∵M是CB₁中点，
∴MN∥AB₁，
∵MN?平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，
∴MN∥平面ABB₁A₁；
（2）结论仍成立，证明如下；
如图2，

过点M作MP∥B₁B，交BC于点P，连接NP，
∵MP∥B₁B，∴$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BP}{PC}$，
又$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{BN}{ND}$=$\frac{BP}{PC}$，∴NP∥DC，
又AB∥CD，∴NP∥AB；
由MP∥B₁B，MP?平面ABB₁A₁，B₁B?平面ABB₁A₁，∴MP∥平面ABB₁A₁，
同理，NP∥平面ABB₁A₁，
又MP?平面MNP，MP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面ABB₁A₁，
又MN?平面MNP，
∴MN∥平面ABB₁A₁．

点评 本题考查了线线平行、线面平行和面面平行的判定与性质定理的应用问题，是中档题目．