Question

17．g（x）=2lnx-x²-mx，x∈R，如果g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），AB中点为C（x₀，0），求证g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析 根据题意$\left\{\begin{array}{l}{2l{nx}_{1}{{-x}_{1}}^{2}-{mx}_{1}=0①}\\{2l{nx}_{2}{{-x}_{2}}^{2}-{mx}_{2}=0②}\end{array}\right.$，作差得2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂-x₁）（x₂+x₁）-m（x₂-x₁）=0，整理式子，向题意靠拢；利用导数g′（x）与中点坐标公式，利用换元法得出函数g（t）其中t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，判断g（t）的单调性，即可得出结论g'（x₀）≠0．

解答 解：根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2l{nx}_{1}{{-x}_{1}}^{2}-{mx}_{1}=0①}\\{2l{nx}_{2}{{-x}_{2}}^{2}-{mx}_{2}=0②}\end{array}\right.$；
②-①得，2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂-x₁）（x₂+x₁）-m（x₂-x₁）=0，
∴2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=（x₂-x₁）（x₂+x₁+m）；（整理式子，向题意靠拢）
假设g′（x₀）=0，
即g′（x₀）=$\frac{-{{2x}_{0}}^{2}-{mx}_{0}+2}{{x}_{0}}$=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-（x₁+x₂）-m=0，（中点坐标公式2x₀=x₁+x₂）
∴x₁+x₂+m=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
上下同除以x，另t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1）；
令g（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$，
在g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt≠$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
即g'（x₀）≠0．

点评 本题考查了函数的单调性质与导数的综合应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是难题．