Question

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离；现已知曲线C：y=

x

+a到直线l：x-2y=0的距离等于

5

，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：曲线C上的点P（x，

x

+a）到直线l：x-2y=0的距离d=

|x-2( x +a)||

5

=

(x-1)2-(2a+1)

5

，2a+1≥0时，曲线到直线距离为0（相交），2a+1＜0时，|（

x-1

）²-（2a+1）|最小值|2a+1|，由此能求出a．

解答： 解：曲线C上的点P（x，

x

+a）到直线l：x-2y=0的距离：
d=

|x-2( x +a)||

5

=

(x-1)2-(2a+1)

5

，
2a+1≥0时，取x=（1+

2a+1

）²，
|（

x-1

）²-（2a+1）|=0，即曲线到直线距离为0（相交）
 2a+1＜0时，|（

x-1

）²-（2a+1）|最小值|2a+1|，
由题意知

|2a+1|

5

=

5

，解得a=-3或a=2（舍）．
∴a=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．