Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n）的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

(a1+d)2=a1(a1+4d) 9=3a1+3d

，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{

1

anan+1

}的前n项和．

解答： 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，
且a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴

(a1+d)2=a1(a1+4d) 9=3a1+3d

，
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．