Question

【题目】如图，已知分别是的外心、内心，与不重合，在的内部或边上，且或者在的内部或者，试求出使得等式成立的一个充要条件（用关于的内角的条件表示）。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

所求的充要条件是或

充分性。

如图，若，则，

。

从而，。

所以，四点共圆.

故.

于是，.

若，则在的外部，如图，由题意知必有。由对称性可知三点共线，，且在线段上.显然

.

故.

必要性。

设，在的内部或边上。下面分两种情形讨论.

1.若，则由对称性得三点共线，。因为在的内部或边上，所以，必在线段上（如图）.

于是，。

代入，解得.

2.若在的内部，则为锐角三角形.下证：必有，从而，。为此分三种情形讨论.

ⅰ.若，则，这与为锐角三角形矛盾.

ⅱ.若，则，

.

所以，.

从而，在的外接圆的内部（如图），故。解得，这与矛盾.

ⅲ.若，类似ⅱ的推论过程得到矛盾.

故，.

综上所述，的一个充要条件是或.