Question

17．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B．
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标．
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，可得直线AC的方程；设抛物线的方程为y=a（x+3）（x-1），代入点（0，-2），即可得到抛物线方程；
（2）要使△PBC周长最大，只需BP+CP最小即可，由轴对称性质以及两点间线段最短，可知此时BP+CP最小；
（3）运用三角形的面积公式和割补法，可得S，m的关系式，结合二次函数的最值求法，即可得到最大值．

解答 解：（1）y=-$\frac{2}{3}$x+m过点A（-3，0），
则m+2=0，解得m=-2，
则直线AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2；
由C（0，-2），
抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，
且与x轴交于A（-3，0），另一交点为B（1，0），
设抛物线的方程为y=a（x+3）（x-1），
代入点（0，-2），可得a=$\frac{2}{3}$，
即有抛物线的方程为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2；
（2）要使△PBC周长最大，只需BP+CP最小即可，如图1，
连AC交x=-1于P点，由A，B关于直线x=-1对称，
由轴对称性质以及两点间线段最短，可知此时BP+CP最小，
（BP+CP最小即为AC的长），
由A（-3，0），C（0，-2），AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2，
由x_P=-1，则y_P=-$\frac{4}{3}$，P（-1，-$\frac{4}{3}$）；
（3）如图2，设CD=m，△PDE的面积为S，D（0，m-2），
DE∥PC，AC：y=-$\frac{2}{3}$x-2，设DE：y=-$\frac{2}{3}$x+m-2，
当y=0时，x=$\frac{3}{2}$m-3，即D（$\frac{3}{2}$m-3，0），
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$m•$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{2}$m）（2-m）-$\frac{1}{2}$m•1=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$，
当m=1时，取得最大值，且为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的求法，同时考查三角形的周长的最小和面积的最大，注意运用对称性和二次函数的最值求法是解题的关键．