Question

16．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（3）若AB=2，求当SA的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥底面ABCD，可得SA⊥BD．利用ABCD是正方形，可得AC⊥BD，即可证明BD⊥平面SAC，平面EBD⊥平面SAC．
（2）设AC∩BD=O，连接SO，可得SO⊥BD．令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD，利用$\frac{1}{3}$•S_△SBD•h=$\frac{1}{3}$•S_△ABD•SA，即可得出．
（3 ）经过点B作BM⊥SC，垂足为M，连接DM，由对称性可得：DM⊥SC，BM=MD．因此∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，又点O为BD的中点，可得OM平分∠BMD，因此只要∠BMO=60°即可，利用S_△SBC=$\frac{1}{2}$BM•SC=$\frac{1}{2}$SB•BC，即可解出．

解答 （1）证明：∵SA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴SA⊥BD．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC．
（2）解：设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥BD．
由AB=2，知BD=2$\sqrt{2}$，
SO=$\sqrt{SA2+AO2}=\sqrt{42+（\sqrt{2}）2}=3\sqrt{2}$，
∴S_△SBD=$\frac{1}{2}$ BD•SO=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•3$\sqrt{2}$=6，
令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD，则$\frac{1}{3}$•S_△SBD•h=$\frac{1}{3}$•S_△ABD•SA，
∴6h=$\frac{1}{2}$•2•2•4?h=$\frac{4}{3}$∴点A到平面SBD的距离为$\frac{4}{3}$，
（3 ）解：经过点B作BM⊥SC，垂足为M，连接DM，由对称性可得：DM⊥SC，BM=MD．
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，
又点O为BD的中点，∴OM平分∠BMD，
因此只要∠BMO=60°即可．
设SA=x，
在Rt△BMO中，BM=$\frac{BO}{cos3{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
又S_△SBC=$\frac{1}{2}$BM•SC=$\frac{1}{2}$SB•BC，
∴$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$•\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}×2}$=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$×2，
解得x=2．
∴当SA=2时，二面角B-SC-D的大小为120°．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、“等积变形”、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．