Question

设不等式的解集为,.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）|1－4ab|＞2|a－b|

解析试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将f(x)＝|x－1|－|x＋2|化为分段函数，根据分段函数的值域，将不等式化为不等式－2＜－2x－1＜0，解得集合M，由从而得出的取值范围，利用含绝对值不等式性质及的取值范围，利用放缩法，即可推出所证不等式；（Ⅱ）先用作出比较法比较|1－4ab|²与4|a－b|²的大小，再利用不等式的开方性质，即可比较出与的大小.
试题解析：（Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，则M＝(－，).   3分
所以|a＋b|≤|a|＋|b|＜×＋×＝.       6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜，b²＜．
因为|1－4ab|²－4|a－b|²＝(1－8ab＋16a²b²)－4(a²－2ab＋b²)
＝(4a²－1)(4b²－1)＞0，         9分
所以|1－4ab|²＞4|a－b|²，故|1－4ab|＞2|a－b|.        10分
考点：含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，放缩法，比较法，不等式性质，运算求解能力,转化与化归思想，分类整合思想