Question

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB
（1）求角B的大小；
（2）若$b=4，C=\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求cosBsinC=sinCsinB，结合sinC≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由（1）及三角形内角和定理可求A，利用正弦定理可求c的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a=bcosC+csinB，
∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴cosB=sinB，
∴$tanB=\frac{sinB}{cosB}=1$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（2）由（1）可得$A=π-B-C=\frac{5π}{12}$，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{2}{{sin\frac{π}{4}}}=2\sqrt{2}$，
∴$c=2\sqrt{6}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=6+2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．