Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小；
（Ⅲ）在线段AA₁上是否存在一点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AB₁交A₁B于M，连结B₁C，DM，由已知条件得四边形AA₁B₁B是矩形，由三角形中位线能证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）作CO⊥AB于O，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅲ）设E（1，x，0），求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，且AE=

3

3

．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AB₁交A₁B于M，连结B₁C，DM，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以四边形AA₁B₁B是矩形，
所以M为A₁B的中点．
因为D是AC的中点，
所以MD是三角形AB₁C的中位线，…（2分）
所以MD∥B₁C．…（3分）
因为MD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
所以B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB₁A₁，
所以在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
如图建立空间直角坐标系O-xyz．
因为AB=2，AA1=

3

，D是AC的中点．
所以A（1，0，0），B（-1，0，0），C(0 ， 0 ， 

3

)，A1(1 ， 

3

 ， 0)，…（5分）
所以D(

1

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

BD

=(

3

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

BA1

=(2 ， 

3

 ， 0)．
设

n

=(x ， y ， z)是平面A₁BD的法向量，
所以

n • BD =0  n • BA1 =0

即

3 2 x+ 3 2 z=0  2x+ 3 y=0

令x=-

3

，则y=2，z=3，
所以

n

=(-

3

 ， 2 ， 3)是平面A₁BD的一个法向量．…（6分）
由题意可知

AA1

=(0 ， 

3

 ， 0)是平面ABD的一个法向量，…（7分）
所以cos＜

n

 ， 

AA1

＞=

2 3

4 3

=

1

2

．…（8分）
所以二面角A₁-BD-A的大小为

π

3

．…（9分）
（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则

C1E

=(-1 ， 

3

-x ， 

3

)，

C1B1

=(-1 ， 0， -

3

)
设平面B₁C₁E的法向量

n1

=(x1 ， y1 ， z1)，
所以

n1 • C1E =0  n • C1B1 =0

即

-x1+( 3 -x)y1+ 3 z1=0  -x1- 3 z1=0

令z1=-

3

，则x₁=3，y1=

6

3 -x

，

n1

=(3 ， 

6

3 -x

 ， -

3

)，…（12分）
又

n1

•

n

=0，即-3

3

+

12

3 -x

-3

3

=0，解得x=

3

3

，
所以存在点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD且AE=

3

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．