Question

16．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）当-4＜a＜0时，f（x）在区间[0，3]上的最大值为15，求f（x）在[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，利用f（x）在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在单调递减区间，转化为导函数f′（x）=x²+2x+a在$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可．
（Ⅱ）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax，a∈R．
可得f′（x）=x²+2x+a．
由条件f（x）在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在单调递减区间，知导函数f′（x）=x²+2x+a在$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在函数值小于零的区间，
只需${f^'}（{-\frac{3}{2}}）={（{-\frac{3}{2}}）^2}+2×（{-\frac{3}{2}}）+a＜0$，解得$a＜\frac{3}{4}$，
故a的取值范围为$（-∞，\frac{3}{4}）$．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=x²+2x+a的图象开口向上，且对称轴x=-1，
f′（0）=a＜0，f′（3）=9+6+a=15+a＞0，
所以必存在一点x₀∈（0，3），使得f′（x₀）=0，
此时函数f（x）在[0，x₀]上单调递减，
在[x₀，3]单调递增，又由于f（0）=0，f（3）=9+9+a=18+3a＞0=f（0）
所以f（3）=18+3a=15，即a=-1，此时，
由${f}^{′}（{x}_{0}）={{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}-1=0⇒{x}_{0}=\sqrt{2}-1$，
所以函数$f{（x）}_{min}=f（\sqrt{2}-1）=\frac{5-4\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，导函数的性质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．