Question

已知函数f(x)=sin(

π

6

-x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=-2

2

f(

x

2

+

π

4

)，若在△ABC中，g(A-

π

4

)+g(B-

π

4

)=4

6

sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）化简可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调递减区间；
（2）g(A-

π

4

)+g(B-

π

4

)=4

6

sinAsinB及正选定理可知：a+b=2

6

ab ①又由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC，即有9=a²+b²-ab，②整理可得8a²b²-ab-3=0解方程可得ab的值，从而可求S_△ABC的值．

解答： 解：（1）f(x)=sin(

π

6

-x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

4

×

1+cos2x

2

-

3

4

×

1-cos2x

2

-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x
=

2

2

cos（2x+

π

4

）
∵由2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

4

，k∈Z，可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z
（2）∵g（x）=-2

2

f(

x

2

+

π

4

)=-2

2

×

2

2

cos[2（

x

2

+

π

4

）+

π

4

]=2sin（x+

π

4

），
∴由g(A-

π

4

)+g(B-

π

4

)=4

6

sinAsinB，可解得：sinA+sinB=2

6

sinAsinB
∴由正选定理可知：a+b=2

6

ab                                   ①
又∵由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC，即有9=a²+b²-ab，②
①平方后变形可得：a²+b²=24a²b²-2ab，代入②整理，有8a²b²-ab-3=0
解方程可得：ab=

1± 97

16

．
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

×

1± 97

16

=

3 ± 291

64

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．