Question

1．设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．
（1）当a=2时，求函数的单调区间；
（2）求方程f（x）=0的根．

Answer 1

分析 （1）把函数的解析式写成分段函数的形式，画出函数的图象，数形结合求得函数的单调区间．
（2）化简函数的解析式，利用二次函数的性质，分类讨论求得函数y=x|x-a|的图象和直线y=a交点的横坐标，可得方程f（x）=0的根．

解答 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x|x-a|-a=x|x-2|-2=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）-2，x≥2}\\{x（2-x）-2，x＜2}\end{array}\right.$，
它的图象如图所示：
结合函数f（x）的图象，可得它的增区间为（-∞，1]、
[2，+∞）；
它的减区间为（1，2）．
（2）方程f（x）=0的根，即函数f（x）=x|x-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$ 的零点，
即函数y=x|x-a|的图象和直线y=a交点的横坐标．
当x≥a时，二次函数f（x）=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a 的图象的对称轴为x=$\frac{a}{2}$＜a，
f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0．
当x＜a时，二次函数f（x）=-${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-a 的图象的对称轴为x=$\frac{a}{2}$＜a，f（x）在（$\frac{a}{2}$，a）上单调递减，
在（-∞，$\frac{a}{2}$）上单调递增，故f（x）的极大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a．
当f（$\frac{a}{2}$）＜0，即0＜a＜4，f（x）的图象和x轴有唯一交点，
由x²-ax-a=0，求得 x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（舍去）．
当f（$\frac{a}{2}$）=0，即a=4，f（x）的图象和x轴有2个交点，x₁=2，x₂=2+2$\sqrt{2}$．
当f（$\frac{a}{2}$）＞0，即 a＞4，f（x）的图象和x轴有3个交点，由-x²+ax-a=0，求得 x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
此时，函数fx）的零点为$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；当0＜a＜4时，f（x）的零点为$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
当a=4时，f（x）的零点为2和2+2$\sqrt{2}$；
当a＞4 时，函数fx）的零点为$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$．

点评 本题主要考查函数的单调性以及函数的零点问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．