Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程；
（3）当时，方程f（x）=2a-3有两个不等的实根x₁，x₂，求实数a的取值范围，并求此时x₁+x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由图知，A=2，由T=π，可求得ω，由2sin（2×+φ）=2可求得φ；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=2sin（-），由正弦函数的性质即可求得g（x）的对称轴方程；
（3）由x∈[0，]⇒2x+∈[，]，方程f（x）=2a-3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围；
（法一）当x∈[0，]，时，利用f（x₁）=f（x₂），即可求得x₁+x₂的值；
（法二）令2x+=+kπ，可求得x=+，（k∈Z），利用f（x）的对称轴方程为x=+即可求得x₁+x₂的值．
解答：解：（1）由图知，A=2．--------（1分）
T=π，ω===2-----（2分）
由2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1，故+φ=+2kπ，k∈Z，
所以φ=+2kπ，k∈Z，
又φ∈（0，），所以φ=---（3分）
故f（x）=2sin（2x+）-------（4分）
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到f（x-）的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，
纵坐标不变，得到f（-）的图象，
所以g（x）=f（-）=2sin[2（-）+）]=2sin（-）-------（6分）
令-=+kπ，--------（7分）
则x=+2kπ（k∈Z），所以g（x）的对称轴方程为x=+2kπ（k∈Z），..-（8分）
（3）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]--------（9分）
∴当方程f（x）=2a-3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点
∴1≤2a-3＜2--------（11分）
∴2≤a＜--------（12分）
（法一）当x∈[0，]，时，f（x₁）=f（x₂），
所以（2x₁+）+（2x₂+）=π，
所以x₁+x₂=；
（法二）令2x+=+kπ，则x=+，（k∈Z）
所以f（x）的对称轴方程为x=+，（k∈Z）
又∵x∈[0，]，
∴=，所以x₁+x₂=；--（14分）
点评：本题考查：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及三角函数性质的综合应用，属于难题．