精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正常数）．
（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在 $数学公式$ 处有极值，对于一切 $数学公式$ ，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围．

解：（1）∵f（0）=b＞0…
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点…
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…
由题意得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …
问题等价于b＞x+cosx-sinx对一切 $\text{[math]}$ 恒成立…
记g（x）=x+cosx-sinx，
则 $\text{[math]}$ …
∵ $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴g'（x）≤0，即g（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数…
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）…
分析：（1）函数f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]内至少有一个零点，代入f（0）和f（a+b）利用零点定理进行求解；
（2）对f（x）进行求导，利用函数f（x）在 $\text{[math]}$ 处有极值，可得f′（ $\text{[math]}$ ）=0，求出a的值，将问题转化为b＞x+cosx-sinx对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，利用常数分离法进行求解；
点评：此题主要考查函数的零点定理以及函数的恒成立问题，利用导数研究函数的最值和极值问题，是一道基础题；

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=

a-x2

+lnx (a∈R ， x∈[

， 2])
（1）当a∈[-2，

)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2009•海淀区二模）已知函数f（x）=a-2^x的图象过原点，则不等式f(x)＞

的解集为

（-∞，-2）

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=a^|x|的图象经过点（1，3），解不等式f(

)＞3．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=a-2^|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x) ， x＞0

-f(x) ， x＜0

给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是

．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正常数）．（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；（2）设函数f（x）在处有极值，对于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围．

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正常数）．
（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在 $数学公式$ 处有极值，对于一切 $数学公式$ ，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围．