Question

19．已知抛物线y²=4x的焦点F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则4|FA|+|FB|的最小值为9．

Answer 1

分析 联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标互为倒数，利用抛物线的性质得出4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1，根据基本不等式得出最值．

解答 解：抛物线的焦点为F（1，0），
（1）若直线与x轴垂直，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程得y=±2，
∴|FA|=|FB|=2，
∴4|FA|+|FB|=10．
（2）若直线与x轴不垂直，显然直线有斜率，
设直线方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=1，即x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∵A，B在抛物线上，∴|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1=$\frac{1}{{x}_{1}}+1$，
∴4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1=4x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$+5≥2$\sqrt{4{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}$+5=9．
当且仅当4x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$即x₁=$\frac{1}{2}$时取等号．
综上，4|FA|+|FB|的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．