Question

14．数列{a_n}满足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），若a₁=2，a₂=1，则a₂₀=（　　）

• A． $\frac{1}{{{2^{10}}}}$
• B． $\frac{1}{2^9}$
• C． $\frac{2}{21}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），展开化为：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$．利用等差数列的通项公式得出．

解答 解：数列{a_n}满足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），展开化为：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{20}}$=1+$\frac{1}{2}×19$=$\frac{21}{2}$，解得a₂₀=$\frac{2}{21}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．