Question

4．如图所示，两个非共线向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，M，N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则x²+y²的最小值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据共线原理可知x+y=$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式即可得出答案．

解答 解：∵M，N分别是OA，OB的中点，
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=2x$\overrightarrow{OM}$+2y$\overrightarrow{ON}$，
∵M，C，N三点共线，
∴2x+2y=1，即x+y=$\frac{1}{2}$，
∴xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=$\frac{1}{4}$-2xy≥$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，不等式的应用，属于基础题．