Question

15．某地政府为了对房地产市场进行调控决策，统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表（不全）：

	买房	不买房	犹豫	总计
外来人口（单位：人）	5	10	15	30
当地人口（单位：人）	20	10	50	80
总计	25	20	65	110

已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3：8．
（1）补全上述列联表；
（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计外来人口的某项收入指标，若一个买房人的指标记为3，一个犹豫人的指标记为2，一个不买房人的指标记为1，现在从这6人中再随机选取3人，用X表示这3人指标之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）列方程组求出外来人口和当地人口中犹豫的人数，填写列联表；
（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为x人，y人，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{15+x}{30+y}=\frac{3}{8}\\（15+x）+（30+y）=110，\;\;\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=15，\;\;\\ y=50.\end{array}\right.$
填写列联表如下；

	买房	不买房	犹豫	总计
外来人口（单位：人）	5	10	15	30
当地人口（单位：人）	20	10	50	80
总计	25	20	65	110

（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的6人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人，
所以X的所有可能取值为7，6，5，4；
计算$P（X=7）=\frac{C_1^1C_3^2}{C_6^3}=\frac{3}{20}$，
$P（X=6）=\frac{C_1^1C_2^1C_3^1+C_3^3}{C_6^3}=\frac{7}{20}$，
$P（X=5）=\frac{C_1^1C_2^2+C_3^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{7}{20}$，
$P（X=4）=\frac{C_3^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{3}{20}$，
所以X的分布列为

X	7	6	5	4
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{20}$

数学期望是$E（X）=7×\frac{3}{20}+6×\frac{7}{20}+5×\frac{7}{20}+4×\frac{3}{20}=\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了列联表的应用问题，是中档题．