Question

9．下列说法中：
（1）函数f（x）=$\frac{1}{x}$在其定义域内单调递减     
（2）若a＞b＞0，则a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$；
（3）若a＞0，b＞0且2a+b=1，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为9
（4）函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$在（-2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（5）已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集的充要条件是a＞0且△≤0；
正确的序号为为（2），（3），（4）．

Answer 1

分析 （1），定义域为{x|x≠0}，但在定义域上不单调；
（2），若a＞b＞0，⇒$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$，则a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$，；
（3）利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出；
（4）把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在 （-2，+∞）为增函数得出1-2a＜0，从而得到实数a的取值范围．
（5），关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集?关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是R，分两种情况考虑：（i）当a=b=0时，c＞0时，原不等式的解集为空集；（ii）当a不为0时，a＞0且△＜0．

解答 解：对于（1），定义域为{x|x≠0}，但在定义域上不单调，故错；
对于（2），若a＞b＞0，⇒$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$，则a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$，故正确；
对于（3），∵a＞0，b＞0，2a+b=1，∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）（2a+b）$=5+$\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{2a}{b}}=9$，故正确；
对于（4），∵函数f（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在 （-2，+∞）为增函数，可得1-2a＜0，得a$＞\frac{1}{2}$，故正确；
对于（5），关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集?关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是R，分两种情况考虑：（i）当a=b=0时，c＞0时，原不等式的解集为空集；（ii）当a不为0时，a＞0且△＜0，故错．
故答案为：（2），（3），（4）

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的不等式、函数的基础知识，属于中档题．