Question

已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=2f（x）-blnx+x在x∈[1，+∞）上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,存在型,导数的综合应用

分析：求导后可知单调区间；通过独立参数，构造函数，转化为最值问题．

解答： 解：（1）f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1；
令f'（x）＞0，即：lnx+1＞0，
解得：x＞

1

e

，即f（x）在（

1

e

，+∞）上单调递增；
令f'（x）＜0，即：lnx+1＜0
解得：0＜x＜

1

e

，即f（x）在（0，

1

e

）上单调递减．
综上所述，f（x）的单调增区间是：（

1

e

，+∞），单调减区间是：（0，

1

e

）．
（2）∵函数g（x）=2f （x）-blnx+x在[1，+∞）上存在零点，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在[1，+∞）上有实数解．
易知x=1不是方程的实数解，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在（1，+∞）上有实数解，
即方程b=2x+

x

lnx

在（1，+∞）上有实数解．
设g（x）=2x+

x

lnx

（x＞1），
g′（x）=2+

lnx-1

(lnx)2

=

(2lnx-1)(lnx+1)

(lnx)2

，
∵x＞1，
∴lnx＞0，lnx+1＞0，
当2lnx-1＞0，即x＞

e

时，g′（x）＞0，
当2lnx-1＜0，即1＜x＜

e

时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，

e

）上单调递减，在（

e

，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=4

e

，
∴实数b的取值范围为[4

e

，+∞）．

点评：本题综合考查了导数的应用，同时考查了函数与方程之间的关系及数形结合的思想，属于中档题．