Question

16．在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）证明：直线CE⊥平面ADF；
（2）已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角P-DF-A的大小为60°．

Answer 1

分析 （1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这条两个平面垂直，直线垂直两个平面的交线即可．证明CE⊥DF
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，CE⊥AD，即可得到直线CE⊥平面ADF．
（2）根据题意，取EF的中点G，证明DA，DC，DG两两垂直．以D为原点，DA，DC，DG的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，进行计算，确定P在棱BC上的位置．

解答 证明：（1）∵CD∥EF，CD=EF=CF=2，∴四边形CDEF为菱形，
∴CE⊥DF
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∵AD⊥CD，∴AD⊥平面ACDEF，
∴CE⊥AD，又∵AD∩DF=D，∴直线CE⊥平面ADF；
解：（2）∵∠DCF=60°，∴△DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF，∴GD⊥CD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴GD⊥平面ABCD．∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG两两垂直．
以D为原点，DA，DC，DG的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，∴$E（0，-1，\sqrt{3}），F（0，1，\sqrt{3}）$，
由（1）知$\overrightarrow{CE}=（0，-3，\sqrt{3}）$是平面ADF的法向量．∵$\overrightarrow{DF}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（1，-1，0）$，
设$\overrightarrow{CP}=a\overrightarrow{CB}=（a，-a，0）$，$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}=（a，2-a，0）$，
设平面PDF的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，∵$\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{ax+（2-a）y=0}\end{array}}\right.$，令$y=\sqrt{3}a$，则$x=\sqrt{3}（a-2），z=-a$，
∴$\overrightarrow n=（\sqrt{3}（a-2），\sqrt{3}a，-a）$．
∵二面角P-DF-A为60°，
∴$|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{CE}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{CE}}|}}=\frac{{4a\sqrt{3}}}{{\sqrt{12}\sqrt{3{{（a-2）}^2}}+3{a^2}+{a^2}}}=\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{2}{3}$．
∴P点在靠近B点的CB的三等分点处．

点评 本题考查了线面垂直的证明方法．线面垂直可以转化成证明面面垂直，也可以证明直线垂直平面内的两条相交直线．同时考查了空间直角坐标系在立体几何中的运用能力和计算能力！属于难题．