Question

11．在一个圆心为O，半径为R半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？

Answer 1

分析 设∠AOB=θ且θ为锐角，半圆的半径为R，用θ参数表示出矩形的面积S=R²sin（2∠BOA）．再求出S的最大值即可．

解答 解：设∠AOB=θ且θ为锐角，半圆的半径为R，则|AB|=Rsinθ
DA=2|AO|=2Rcosθ
∴这个矩形的面积为：S=2Rcos∠BOA×Rsin∠BOA=R²sin（2∠BOA）
因此当sin（2∠BOA）=1时，S最大．
即∠BOA=$\frac{π}{4}$时，矩形面积最大，最大为R²
也就是当AD=$\sqrt{2}R$，AB=$\frac{\sqrt{2}R}{2}$时矩形面积最大
故当AD=$\sqrt{2}R$，AB=$\frac{\sqrt{2}R}{2}$时矩形面积最大．

点评 本题主要考查了带参数的三角形面积公式，三角函数的最值等知识点，属中档题．