Question

11．△ABC中，C=arccos$\frac{7}{9}$，且△ABC周长为4，求其面积的最大值．

Answer 1

分析 由C=arccos$\frac{7}{9}$，可得cosC，sinC的值，由余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解三角形面积的最大值．

解答 解：∵C=arccos$\frac{7}{9}$，可得：cosC=$\frac{7}{9}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{14ab}{9}}$，
∴4=a+b+c=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{14ab}{9}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab-\frac{14ab}{9}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{ab}$，（当且仅当a=b时取“=”）
∴ab≤$\frac{9}{4}$，（当且仅当a=b时取“=”），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（当且仅当a=b时取“=”），
∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．