Question

6．在△ABC中，若a+c=20，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，则$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，b=10或8．．

Answer 1

分析 cosA=$\frac{3}{4}$，A∈（0，π）．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，又C=2A．可得：$\frac{c}{a}$．又a+c=20，联立解得c，a．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA．代入解出即可得出．

解答 解：∵cosA=$\frac{3}{4}$，A∈（0，π）．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，又C=2A．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{2sinAcosA}$，可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
又a+c=20，联立解得c=12，a=8．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA．
∴b²-18b+80=0，
解得b=10或8．
故答案为：$\frac{3}{2}$，10或8．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．