练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，则下列判断正确的是①③④⑤（把你认为正确的序号都填上） 
    ①线段MN有最小值，且最小值为1
    ②不论M，N如何运动，线段MN和B1D都不可能垂直
    ③存在一个位置，使得MN所在的直线与四个侧面都平行
    ④$|{MN}|=\sqrt{2}$的情况只有四种
    ⑤若M，N，B，C四点能构成三棱锥，其体积只与点N的位置有关，与M无关．

    分析 当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，由异面直线的距离，即可判断①；
    当M与C1重合，N与B重合，由三垂线定理，即可判断②；
    当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平行的判定定理，即可判断③；
    考虑面对角线，BC1，A1D，A1B，C1D四种，即可判断④；
    由于M在A1C1上，A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，由棱锥的体积公式即可判断⑤．

    解答 解：对于①，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN⊥BD，MN⊥A1C1，即MN为
    异面直线A1C1和BD的公垂线段，即有线段MN有最小值，且最小值为1，故①对；
    对于②，当M与C1重合，N与B重合，连接BC1，B1C，
    由BC1⊥B1C，CD⊥平面BCC1B1，由三垂线定理可得
    B1D⊥BC1，故②错；
    对于③，存在一个位置，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平行的判定定理，
    可得使MN所在的直线与四个侧面都平行，故③对；
    对于④，$|{MN}|=\sqrt{2}$的情况只能是面对角线，BC1，A1D，A1B，C1D四种，故④对；
    对于⑤，M，N，B，C四点能构成三棱锥，由于M在A1C1上，
    A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，
    则三棱锥的体积只与点N的位置有关，与M无关，故⑤对．
    故答案为：①③④⑤．

    点评 本题考查空间线线、线面的位置关系和距离及体积的求法，考查运算和推理能力，以及转化思想、数形结合的思想方法，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    6．在△ABC中，若a+c=20，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，则$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，b=10或8．．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足x2f'（x）+xf（x）=lnx，f（e）=$\frac{1}{e}$，则f（x）（　　）
    A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
    C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．已知圆E：（x+$\sqrt{3}$）2+y2=16，点F（$\sqrt{3}$，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
    （Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    11．已知f（x）=ax3-x2-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）=$\frac{{3\sqrt{e}}}{4}{e^x}$（e是自然对数的底数），f（x）的图象在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程为y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
    （1）求a，b的值；
    （2）探究直线y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．是否可以与函数g（x）的图象相切？若可以，写出切点的坐标，否则，说明理由；
    （3）证明：当x∈（-∞，2]时，f（x）≤g（x）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（　　）
    A．8B．8+4$\sqrt{10}$C．2$\sqrt{10}$+$\sqrt{13}$D．4$\sqrt{10}$+2$\sqrt{13}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（　　）
    A．100B．900C．999D．1000

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    5．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=$\sqrt{3}$f（x），x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x∈[0，1）}\\{-2•（\frac{1}{3}）^{|x-\frac{4}{3}|}，x∈[1，2）}\end{array}\right.$，x
    ∈[-4，-2）时，f（x）≥t2-$\frac{7}{3}$t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
    A．[$\frac{1}{2}$，3）B．（-∞，$\frac{1}{2}$]∪（3，+∞）C．[$\frac{1}{3}$，2]D．（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[2，+∞）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    6．函数$f（x）=3\sqrt{3}sinωx（{ω＞0}）$的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f（1）+f（2）+f（3）的值为（　　）
    A．$\frac{9}{2}$B．$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$C．$9\sqrt{3}+1$D．$\frac{{9（{\sqrt{3}+1}）}}{2}$

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案