Question

5．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=$\sqrt{3}$f（x），x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x∈[0，1）}\\{-2•（\frac{1}{3}）^{|x-\frac{4}{3}|}，x∈[1，2）}\end{array}\right.$，x
∈[-4，-2）时，f（x）≥t²-$\frac{7}{3}$t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，3）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]∪（3，+∞）
• C． [$\frac{1}{3}$，2]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数性质推导f（x）在[-4，-2）上的解析式，计算f（x）在[-4，-2）上的最小值，得出关于t的不等式，从而得出t的范围．

解答 解：∵f（x+2）=$\sqrt{3}$f（x），∴f（x+4）=$\sqrt{3}$f（x+2）=3f（x），
若x∈[-4，-2），则x+4∈[0，2），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}[2（x+4）^{2}-2（x+4）]，x∈[-4，-3）}\\{-\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{|x+\frac{8}{3}|}，x∈[-3，-2）}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}（x+\frac{7}{2}）^{2}-\frac{1}{6}，x∈[-4，-3）}\\{-\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{|x+\frac{8}{3}|}，x∈[-3，-2）}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[-4，-3）上的最小值为f（-$\frac{7}{2}$）=-$\frac{1}{6}$，
f（x）在[-3，-2）上的最小值为f（-$\frac{8}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在[-4，-2）上的最小值为-$\frac{2}{3}$，
∵-$\frac{2}{3}$≥t²-$\frac{7}{3}$t，解得$\frac{1}{3}≤t≤2$．
故选C．

点评 本题考查了分段函数的最值计算，函数恒成立问题，属于中档题．