Question

【题目】在直角坐标系中，抛物线与直线 交于，两点.

（1）当时，分别求抛物线在点和处的切线方程；

（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 过点和点的切线方程分别为.(2)存在点，理由见解析

【解析】

（1）将直线l的方程代入抛物线C的方程，求出点M、N的坐标，再联立方程，判别式为零，可求出抛物线C在点M、N处的切线方程；

（2）设点P为符合题意的点，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式计算直线PM和直线PN的斜率之和为0，求出的值，即可解决该问题．

（1）由题意知时，联立，

解得，．

设过点的切线方程为，

联立得：，

由题意：，即，解得，

根据对称性，过点的切线斜率为，

所以过点和点的切线方程分别为.

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设点为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．联立方程，得，故，，

从而．

当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，

故，所以点符合题意．