Question

4．已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=$\sqrt{5}，SB=\sqrt{7}$，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且$\frac{SF}{SC}$=λ，SA∥平面BEF．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）求三棱锥F-EBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，推导出SA∥FG，从而△GEA～△GBC，由此能求出$λ=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由${V_{F-BCE}}=\frac{2}{3}{V_{S-EBC}}=\frac{1}{3}{V_{S-ABCD}}$，能求出三棱锥F-EBC的体积．

解答 解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，
∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，
∴△GEA～△GBC，∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{SF}{FC}=\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}⇒SF=\frac{1}{3}SC$，
解得$λ=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵$SA=SD=\sqrt{5}$，∴SE⊥AD，SE=2，
又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴$BE=\sqrt{3}$，
∴SE²+BE²=SB²，∴SE⊥BE，
∴SE⊥平面ABCD，
所以${V_{F-BCE}}=\frac{2}{3}{V_{S-EBC}}=\frac{1}{3}{V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×2×2sin60°×2=\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．