Question

（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，已知直线:，定点，动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若为轨迹上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线,（，为切点），求四边形面积的最大值．

Answer 1

解（1）设点到的距离为，依题意得，
即，                         ………………………………2分
整理得，轨迹的方程为．            ………………………………4分
（2）（法一）设 ，圆：，其中
由两切线存在可知，点在圆外，
所以，，即，
又为轨迹上的点，所以．
而，所以，，即． ……………………6分

由（1）知，为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知，，
所以，而，
所以，在直角三角形中，
，
，
由圆的性质知，四边形面积，其中．………10分
即（）．
令（），则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，在时，取极大值，也是最大值，
此时．           …………………………14分
（法二）同法一，四边形面积，其中．…10分
所以．
由，解得，所以． ……………………14分

略