Question

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，M，N分别为AB，B₁C₁的中点．

（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；

（2）若CC₁＝CB₁，CA＝CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求证：AB^平面CMN．

 

Answer 1

证明：（1）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．

因为C₁N＝NB₁，C₁P＝PA₁，所以NP∥A₁B₁，NP＝A₁B₁．   …………………… 2分

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁＝AB．

故NP∥AB，且NP＝AB．

因为M为AB的中点，所以AM＝AB．

所以NP＝AM，且NP∥AM．

所以四边形AMNP为平行四边形．

所以MN∥AP．                        

因为APÌ平面AA₁C₁C，MNË平面AA₁C₁C，

所以MN∥平面AA₁C₁C．            

（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．    

因为CC₁＝CB₁，N为B₁C₁的中点，所以CN⊥B₁C₁． 

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以CN^BC．

因为平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC₁B₁B，

所以CN⊥平面ABC．                    

因为ABÌ平面ABC，所以CN⊥AB．           

因为CMÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，

所以AB⊥平面CMN．