Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的正整数n都有2S_n=6-a_n，数列{b_n}满足b₁=2，且对任意的正整数n都有${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$，且数列$（{\frac{1}{b_n}}）$的前n项和T_n＜m对一切n∈N^*恒成立，则实数m的小值为1．

Answer 1

分析 先根据数列的递推公式可得数列{a_n}以6为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，再根据对数的运算性质化简${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$=2n，利用累加法求出b_n=n（n-1）+2，再放缩裂项求和求出T_n＜1，问题得以解决．

解答 解：当n=1时，2S₁=6-a₁，
∴a₁=6，
∵2S_n=6-a_n，
∴2S_n-1=6-a_n-1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴数列{a_n}以6为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
∴a_n=6×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$=2n，
∴b₂-b₁=2，
b₃-b₂=4，
…
b_n-b_n-1=2（n-1），
累加可得b_n-b₁=2（1+2+3+…+n-1）=n（n-1），
∴b_n=n（n-1）+2，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）+2}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×1+2}$+$\frac{1}{3×2+2}$+…+$\frac{1}{n（n-1）+2}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1，n≥2时，即T_n＜1，
当n=1时，T₁=$\frac{1}{2}$＜1，
综上所述T_n＜1，
∴m的最小值为1
故答案为：1．

点评 本题考查了数列的递推公式和累加求通项公式和裂项求和和放缩证明不等式成立，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题