Question

17．已知等差数列{a_n}中，a₅=9，a₇=13，等比数列{b_n}的通项公式b_n=2^n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式列方程组，解方程组可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式即可得到所求和．

解答 解（I）由题知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}+4d=9}\\{{a}_{7}={a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N*，．
（II）由（I）知，a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1，
由于{a_n}的前n项和为$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵${b_n}={2^{n-1}}，n∈{N^*}$．
∴{b_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴{a_n+b_n}的前n项和S_n=n²+2ⁿ-1

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．