Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列$\sqrt{{S_n}+1}$是公比为2的等比数列．求证：数列{a_n}成等比数列的充要条件是a₁=3．

Answer 1

分析 由题设知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\ 3（{{a_1}+1}）•{4^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．先证明充分性：当a₁=3时，$\frac{a_2}{a_1}=4$，所以对n∈N^*，都有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=4$，即数列{a_n}是等比数列．
再证明必要性：因为{a_n}是等比数列，所以$\frac{a_2}{a_1}=4$，即$\frac{{3（{{a_1}+1}）}}{a_1}=4$，解得a₁=3．

解答 证明：∵数列$\left\{{\sqrt{{S_n}+1}}\right\}$是公比为2的等比数列，
∴$\sqrt{{S_n}+1}=\sqrt{{S_1}+1}×{2^{n-1}}$．即${S_n}+1=（{{a_1}+1}）×{4^{n-1}}$．
∵${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\{S_n}-{S_{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\ 3（{{a_1}+1}）•{4^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$
显然当n≥2时$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=4．
①充分性：当a₁=3时，$\frac{a_2}{a_1}=4$，
∴对n∈N^*，都有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=4$，即数列{a_n}是等比数列．
②必要性：∵{a_n}是等比数列，
∴$\frac{a_2}{a_1}=4$，即$\frac{{3（{{a_1}+1}）}}{a_1}=4$，解得a₁=3．

点评 本题考查等比关系的确定与等比数列的性质，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．