Question

20．为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动．这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：
（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
（2）选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，A₁表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，A₂表示“恰好选出2名语文教师”，A₃表示“恰好选出3名语文教师”，则A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）由于从10名教师中任选3人的结果为${C}_{10}^{3}$，从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，由此能求出选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）市教育局从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动，
基本事件总数$n={C}_{10}^{3}$=120，
这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人，
设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
A₁表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，A₂表示“恰好选出2名语文教师”，
A₃表示“恰好选出3名语文教师”，则A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
${P（A}_{1}）=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{40}$，P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率P=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{3}{40}+\frac{7}{40}+\frac{1}{120}$=$\frac{31}{120}$．
（2）由于从10名教师中任选3人的结果为${C}_{10}^{3}$，
从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，
那么从10人任选3人，其中恰有k名语文教师的概率为P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3，
∴随机变量X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

E（X）=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查事件的概率公式、分布列和数学期望，是中档题，解题时要注意弄清事件与事件之间的关系，否则容易出错．