Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若对于任意实数t，f（-4t）≤f（2at²+a）（a∈R）恒成立，则a²的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|）⇒|4t|≤|2at²+a|，即|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$；则有|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立；令k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$，由基本不等式的性质分析可得k（t）的最大值，结合题意分析可得|a|的最小值，进而计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|），
又由函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|）⇒|4t|≤|2at²+a|，即|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$；
若对于任意实数t，f（-4t）≤f（2at²+a），则|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立；
令k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$，则k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$=$\frac{4}{|2t+\frac{1}{t}|}$=$\frac{4}{|2t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\sqrt{2}$；（|t|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时成立）
若|a|≥k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立，则必有|a|≥$\sqrt{2}$成立，
则a²的最小值是2；
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数恒成立问题，关键是将f（-4t）≤f（2at²+a）转化为a、t的关系．