Question

1．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x+2）=f（2-x），且当x∈（2，+∞）时，（x-2）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（$\frac{3}{2}$），c=f（3），则a，b，c大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜b＜a
• C． b＜a＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根据题意，由f（x+2）=f（2-x）分析可得函数图象关于x=2对称，则有a=f（0）=f（4），b=f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），c=f（3），又由当x∈（2，+∞）时，（x-2）f′（x）＜0，分析可得函数f（x）在区间（2，+∞）为减函数；分析易得$\frac{5}{2}$＜3＜4，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），即函数图象关于x=2对称，
则f（0）=f（4），f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），即a=f（0）=f（4），b=f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），c=f（3），
当x∈（2，+∞）时，则有x-2＞0，
若（x-2）f′（x）＜0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（2，+∞）为减函数；
又由$\frac{5}{2}$＜3＜4，则有a＜c＜b；
故选：D．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系，注意“f（x+2）=f（2-x）”分析函数的对称性．