Question

12．已知过点A（0，1）的动直线l与圆C：x²+y²-4x-2y-3=0交于M，N两点．
（Ⅰ）设线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1）
依题意知$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{AP}$，即$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$⇒（x-2）x+（y-1）（y-1）=0，整理得：x²+y²-2x-2y+1=0．
（Ⅱ）设出M，N的坐标，由韦达定理，结合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-2，可构造关于k的方程，解方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）将x²+y²-4x-2y-3=0化为标准方程
得：（x-2）²+（y-1）²=8，-------------------------------------------------（1分）
可知圆心C的坐标为（2，1），半径r=2$\sqrt{2}$，
设点P的坐标为（x，y），则$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1）--------------------------------------（2分）
依题意知$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{AP}$，
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$⇒（x-2）x+（y-1）（y-1）=0，
整理得：x²+y²-2x-2y+1=0----------------------------------------------（4分）
∵点A在圆C内部，∴直线l始终与圆C相交，
∴点P的轨迹方程为x²+y²-2x-2y+1=0．----------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
若直线l与x轴垂直，则l的方程为x=0，代入x²+y²-4x-2y-3=0
得y²-2y-3=0，解得y=-1或y=3，
不妨设y₁=-1，y₂=3，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-3，不符合题设，------------------------------------------------（7分）
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-2y-3=0}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$消去y得：（1+k²）x²-4x-4=0，--------------------------------（8分）
△=16（2+k²）＞0，
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{1+{k}^{2}}$-----------------------------------------------------------------------（9分）
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-2，
∴$\frac{-4}{1+{k}^{2}}×（1+{k}^{2}）$+$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$+1=-2⇒k²-4k+1=0，
解得：k=2$±\sqrt{3}$-----------------------------------------------------------------（11分）
∴当$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2时，直线l的方程为y=（2$±\sqrt{3}$）x+1．--------------（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，灵活运用韦达定理化简求值、平面向量的数量积运算是解题关键，属于中档题．