Question

14．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；
（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成绩由低到高依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用分层抽样的性质能求出按性别比例分层抽样抽取女生数和男生数．
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（I）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，
按性别比例分层抽样抽取女生数为：$\frac{25}{25+15}×8$=5人，
男生数为：$\frac{15}{40}×8=3$人．…4分
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…5分，
$P（ξ=0）=\frac{A_5^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{20}{56}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_2^1C_3^1C_5^1A_6^6}{A_8^8}=\frac{30}{56}$，
$P（ξ=2）=\frac{A_3^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{6}{56}$…8分
ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	$\frac{20}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{6}{56}$

$Eξ=0×\frac{20}{56}+1×\frac{30}{56}+2×\frac{6}{56}=\frac{3}{4}$…12分．

点评 本题考查分层抽样的应用，离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．