Question

11．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosA•（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10$\sqrt{3}$，a=7，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2cosAsinC=sinC，结合sinC≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，进而可求A的值．
（Ⅱ）由余弦定理得b²+c²-bc=49，由三角形面积公式可求bc=40，联立解得b+c，从而可求三角形周长．

解答 本小题满分（10分）．
解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
则由已知可得：2cosA（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，…（1分）
∴2cosAsin（A+B）=sinC，…（2分）
∴2cosAsinC=sinC，…（3分）
∵0＜C＜π，有sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$，…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=$\frac{π}{3}$，又a=7
由余弦定理得：b²+c²-bc=49，（*）…（6分）
∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=10$\sqrt{3}$，即bc=40，（**）…（7分）
由（*）（**）得，b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=49，…（8分）
解得b+c=13，…（9分）
∴△ABC的周长为a+b+c=20．…（10分）

点评 本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证能力能力；考查方程思想，属于基础题．