Question

20．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足$f'（{x_1}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，$f'（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+m$是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{3}{4}，1}）$
• B． $（{\frac{3}{4}，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• D． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由新定义可知f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$，即方程x²-x=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围

解答 解：由题意可知，
在区间[0，m]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
满足f′（x₂）=$f′（{x}_{1}）=\frac{f（m）-f（0）}{m}$=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$，
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+m$，
∴f′（x）=x²-x，
∴方程x²-x=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$在区间（0，m）有两个解．
令g（x）=x²-x-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m$，（0＜x＜m）
则 $\left\{\begin{array}{l}△=1-4（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m）＞0\\ g（0）=-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m＞0\\ g（m）={m}^{2}-m-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m＞0\\ m＞0\end{array}\right.$
解得 $\frac{3}{4}$＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴实数m的取值范围是（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
故选：B

点评 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题