Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，若f[f（m）]＜0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（{-3，-1}]∪（{-\frac{1}{2}，1}]∪（{2，+∞}）$
• B． $（{-∞，-2}]∪（{-1，-\frac{1}{2}}]∪（{1，{{log}_2}3}）$
• C． $（{-∞，-1}]∪（{0，\frac{1}{2}}]∪（{1，+∞}）$
• D． （-∞，-3]∪（-1，0]∪（1，log₂3）

Answer 1

分析 由已知中函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，若f[f（m）]＜0，则f（m）∈[0，1）∪（-∞，-2），进而得到实数m的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，
若f[f（m）]＜0，则f（m）∈[0，1）∪（-∞，-2），
当m≥0时，由2^m-2∈[0，1）得：m∈（1，log₂3），
当m＜0时，由${log}_{\frac{1}{2}}（-m）$∈[0，1）∪（-∞，-2）得：$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$
故m∈$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]∪（1，{log}_{2}3）$，
故：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．