Question

15．已知双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则双曲线的离心率为1$+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知直线过左焦点F₁，且其倾斜角为60°，∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°，即F₁M⊥F₂M，运用直角三角形的性质和双曲线的定义，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：∵直线y=$\sqrt{3}$（x+c）过左焦点F₁，且其倾斜角为60°，
∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°．
∴∠F₁MF₂=90°，即F₁M⊥F₂M．
∴|MF₁|=$\frac{1}{2}$|F1F2|=c，|MF₂|=|F1F2|sin600=$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义有：|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：1$+\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．