Question

【题目】如图，在三棱台中， 平面， ， ， 分别为， 的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若且，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用中位线，有，所以平面平面，所以平面；（2）易得， ， 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量，利用法向量夹角来计算二面角的余弦值为，所以二面角为.

试题解析：

（1）证明：连接， ，

设与交于点，在三棱台中， ，则，

而是的中点， ，

则，所以四边形是平行四边形， 是的中点，

在△中， 是的中点，则，

又平面， 平面，

所以平面．

（2）解：由平面，可得平面，

而， ，则，

所以， ， 两两垂直，

故以点为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则， ， ， ， ， ， ，

则平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则即

取，则， ， ，

，易得二面角为锐角，

所以二面角的大小为．