Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．

（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；

∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；

∴AE∥DF，且AE平面PCD，DF平面PCD；

∴AE∥平面PCD

（2）解：∵∠PAB=60°，PA=AB；

∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；

则PO⊥AB；

又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；

∴PO⊥平面ABCD；

根据已知条件可求得PO= ，S△BCD=4，PD=CD= ，PC=2 ， ；

设点B到平面PCD的距离为h；

∴ ， ；

∵VP﹣BCD=VB﹣PCD；

∴ ；

∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值

【解析】（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为 ，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过VP﹣BCD=VB﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD ， S△PCD ， 从而求出h，从而求得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．