Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣ ，bn= ，其中n∈N* ．
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设cn=bn+1（ ） ，数列{cn}的前n项和为Tn ， 求Tn；
（3）证明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）证明：bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ =1，又b1=1．∴数列{bn}为等差数列，首项为1，公差为1
（2））解：由（1）可得：bn=n．

cn=bn+1（ ） =（n+1） ．

∴数列{cn}的前n项和为Tn= +3× + +…+（n+1） ．

= +3× +…+n +（n+1） ，

∴ Tn= + + +…+ ﹣（n+1） = + ﹣（n+1） ，

可得Tn= ﹣

（3）证明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即为：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．

∵ = ＜ =2 （k=2，3，…）．

∴1+ + +…+ ≤1+2[（ ﹣1）+（ ）+…+（ ﹣ ）]=1+2 =2 ﹣1．

∴1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）

【解析】（1）只要证明bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ ，为常数．（2）由（1）可得：bn=n．cn=bn+1（ ） =（n+1） ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（3）1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即为：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．由于 = ＜ =2 （k=2，3，…）．利用“裂项求和方法”即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．